Paradigm 최신 연구: Uniswap의 금융 연금술

원문 저자는 투자 기관 Paradigm의 연구원 Dave White, Martin Tassy, Charlie Noyes 및 Dan Robinson이며, 이들은 Uniswap의 초기 투자자이기도 합니다.

무자비한 차익 거래 속에서 Uniswap LP는 오히려 부유해졌다 (출처).

1. 문제
10월 14일, Charlie Noyes는 Twitter에 Dan Robinson과 논의해온 문제를 올렸다:

"모든 Uniswap 자산 쌍에 대해 최적의 수수료는 얼마인가? 이러한 최적의 수수료가 비균형 포트폴리오를 이겨내어 무상 손실을 제거하고 심지어 초과 성장을 이룰 수 있을까?"

1.1 배경

자동화된 시장 조성자(AMM)는 고객이 USDC 및 ETH와 같은 체인 기반 자산 간에 거래할 수 있도록 허용하는 분산형 거래소의 한 종류이다. Uniswap은 이더리움에서 가장 인기 있는 AMM으로, 대부분의 자산 관리 시스템과 마찬가지로 Uniswap은 두 가지 자산의 준비금을 보유하여 특정 자산 쌍 간의 거래를 촉진한다. 이는 준비금의 규모에 따라 거래 가격을 결정하여 가격이 더 넓은 시장과 일치하도록 한다.

어떤 자산 풀에 참여하고자 하는 사람들을 우리는 유동성 제공자(LP)라고 부르며, 이들은 두 가지 준비 자산에 자산을 동시에 기여하고, 일부 거래 위험을 감수하는 대가로 일부 수수료 수익을 얻는다.

1.2 설정의 문제

이 자산 풀은 스테이블 코인과 가격이 무작위로 변동하는 위험 자산 간의 유동성을 제공하며, 우리는 모든 풀에 들어오는 거래가 정보에 기반한 거래라고 하는 특별히 가혹한 가정을 했다(차익 거래는 AMM의 가격이 정상 거래 가격과의 편차가 발생할 때만 발생한다).

즉, 전체 풀은 매 거래 후 손실을 경험한다.

1.3 전통적 사고

언뜻 보기에는 이러한 상황에서 Uniswap LP가 되는 것은 비용이 많이 드는 실수처럼 보인다.

시장 조성자는 매수 가격이 매도 가격보다 낮아야 하므로 자산 가격이 변동하지 않을 때 직접적으로 이익을 얻고, 그들이 얻는 매수 및 매도량은 대체로 균형을 이룬다. 이러한 거래는 일반적으로 "정보에 기반하지 않은" 거래라고 불리며, 이는 단기 가격 동향과는 관련이 없다.

반면에, 시장 조성자는 가격이 하락하기 전에 자산을 매수하거나 가격이 상승하기 전에 매도하면 손실을 본다. 따라서 시장 조성자가 가장 두려워하는 거래 상대방 중 하나는 차익 거래자들이다. 이들은 가격이 변동할 때만 거래를 하러 오며, 시장 조성자를 뒤로 밀어낸다. 차익 거래자가 수행하는 각 거래는 그들에게는 순수한 이익이지만, 시장 조성자에게는 순수한 손실이다.

우리의 Uniswap 문제 설정에서는 정보에 기반하지 않은 거래가 없으므로(실제로 우리는 모든 거래가 차익 거래라고 가정했다), LP는 분명히 매우 큰 손실을 경험할 것이다.

1.4 도전

그러나 Dan과 Charlie는 이 이야기가 여기서 끝나지 않는다고 생각했다.

그들은 특정 잠재적 가격 동역학에 대해 Uniswap LP가 되는 것이 여전히 의미가 있다고 의심했다.

그들은 이 문제를 수학 금융 분야의 전설적인 인물인 Steven Shreve에게 던졌고, 이후 Twitter에 이 문제를 발표했다. Martin Tassy와 나는 독립적으로 일부 해결책을 제시한 후, 협력하여 완전한 해결책을 일반적인 경우로 확장했다.

다음 몇 주 동안, 우리는 네 명이 전보를 통해 결과를 논의하고, 오류를 찾고, 우리의 직관을 구축하는 데 시간을 보냈으며, 이러한 논의가 이 글의 기초가 되었다.

2. 해결책

자산의 변동성이 평균 수익률에 비해 충분히 높다면, 시간이 지남에 따라 Uniswap의 LP는 HODLer보다 더 나은 성과를 낼 것이다. 이는 모든 거래가 차익 거래인 경우에도 마찬가지이다.

이는 "변동성 수확"이라고 불리는 현상 때문이다: 특정 조건 하에서 두 자산을 주기적으로 재조정함으로써, 이들의 성과는 어떤 정적 포트폴리오보다 우수할 가능성이 있다. 이 경우 "재조정"은 각 자산의 총 자산 조합 가치의 비율을 고정된 구성으로 되돌리는 거래를 의미하며, 예를 들어 50/50이다.

따라서 LP가 차익 거래를 당할 때, 그들은 기본적으로 시장에 수수료를 지불하여 포트폴리오를 재조정하는 것이다. 이 특정 수학적 환경에서 이러한 재조정이 유익할 때, 가능한 한 많이 해야 한다. 이는 유동성 제공자가 수수료를 가능한 한 낮게 설정하되, 제로는 아니어야 함을 의미한다.

이는 Uniswap에 좋은 소식이다. 이는 차익 거래가 지배적인 상황에서도 여전히 저렴한 수수료를 누릴 수 있음을 의미하며, 이는 Uniswap이 체인 상의 주문이 계속 증가하고 더 작은 스프레드를 제공하기 시작할 때 경쟁력을 유지하는 데 도움이 된다.

즉, 반복할 가치가 있는 것은 이러한 결과가 매우 특별한 프로그래밍된 수학적 설정에 적용된다는 것이다. 여기서 관련된 가정은 Black-Scholes 옵션 가격 모델과 매우 유사하다. 수학적 편의를 위해, 우리는 Uniswap에서 사용되는 수수료 구조와는 다른 구조를 가정했다.

2.1 대조 기준

우리는 다양한 전략의 점진적 부의 증가율을 비교하여 평가하며, 이 증가율은 장기적으로 가치의 복합(또는 손실) 속도를 측정한다.

이 수치는 매우 중요하다. 왜냐하면 시간이 지남에 따라 이를 최적화하는 전략이 거의 불확실한 전략보다 더 나은 성과를 내기 때문이다.

우리는 모든 전략을 "비균형 포트폴리오"와 비교하며, 후자는 절반의 가치는 스테이블 코인이고 나머지 절반은 위험 자산으로, 이후에는 더 이상 변하지 않는다. 이는 AMM에서 소위 "무상 손실"을 측정하는 커뮤니티 기준이기도 하다.

무슨 일이 있어도 비균형 포트폴리오는 항상 동일한 수량의 스테이블 코인을 보유하고 있다. 이는 최악의 경우 위험 자산이 모든 가치를 잃을 때 비균형 포트폴리오가 거의 완전히 스테이블 코인으로 구성되므로, 장기적으로 성장률이 제로가 됨을 의미한다.

반면에, 위험 자산이 기하급수적으로 성장하면, 이는 곧 비균형 포트폴리오의 주도적인 자산이 되므로, 그 성장률은 위험 자산과 동일해진다.

흥미롭게도 두 포트폴리오는 동일한 점진적 부의 증가율을 공유할 수 있지만, 근접한 성과는 전혀 다를 수 있다. 예를 들어, 위험 자산의 성장률이 제로라면, 제로 수수료의 Uniswap의 지분 가치는 비균형 포트폴리오보다 항상 낮을 것이다. 그러나 시간이 지남에 따라 두 포트폴리오 모두 복합적으로 성장하거나 손실되지 않을 것으로 예상되므로, 두 포트폴리오의 부의 증가율은 모두 제로가 될 것이다.

2.2 변동성 저항(Volatility Drag)

50% 손실/75% 수익 과정에서의 변동성 저항 (출처). 이 결과를 이해하기 위해서는 먼저 변동성 저항(volatility drag)의 개념을 이해해야 한다. 우리의 위험 자산이 매년 50% 하락하거나 75% 상승하며, 두 경우의 발생 확률이 동일하다고 가정하자.

어느 해에 우리가 이 자산에 100달러를 투자한다면, 우리의 기대값은 (50+175)/2=112.5달러가 된다. 만약 우리가 단순히 매수하고 보유한다면, 우리의 포트폴리오의 예상 가치는 매년 12.5% 증가할 것이며, 이는 꽤 괜찮은 거래처럼 보인다.

불행히도, 현실 세계에서는 우리의 이익이 실현되지 않는다. 만약 우리가 이 증권을 매수하고 보유한다면, 우리는 결국 모든 것을 잃게 된다.

이는 시간이 지남에 따라 부의 복합이 재앙적인 손실을 초래하기 때문이다.

만약 우리가 1년 동안 50% 손실을 보고, 다음 해에 75% 성장한다면, 우리가 마지막으로 보유하는 것은 투자 시의 87.5%뿐이다(즉, 50% * 175%).

시간이 지남에 따라 대수의 법칙은 우리의 수익률을 매년 -15%로 보장하며, 우리는 불가피하게 파산하게 된다.

2.3 잠깐, 무슨 일이 일어난 거지?

만약 당신이 기대값의 관점에서 도박을 분석하는 훈련을 받았다면, 이전 섹션은 매우 이상하게 보일 수 있으며, 심지어 완전히 잘못된 것처럼 보일 수 있다.

실제로, 일주일 전 우리는 이 문제에 대한 완전하고 폐쇄적인 수학적 해답을 얻었으며, 그 이전에는 직관적으로 그것이 의미하는 바를 전혀 알지 못했다.

그 근본적인 원인은 기대값이 이론적인 양으로, 무수히 많은 평행 우주에서 주어진 게임을 동시에 복제했을 때 발생할 일을 측정하기 때문이다.

하지만 현실은 그렇지 않다. 각 게임마다 우리는 한 번의 기회만 가지며, 우리가 수행하는 게임의 효과는 순간적이지 않고 시간이 지남에 따라 복합된다.

우리는 이를 조화롭게 이해하기 위해 다른 관점에서 바라볼 수 있다. (-50% / +75%) 게임을 반복할수록, 매번 자금을 재투자할 때, 올바른 경로는 극히 적으며, 천문학적인 수익을 창출하게 된다.

시간이 지남에 따라 이러한 경로는 모든 가능한 경로 중에서 차지하는 비율이 점점 줄어들고, 우리가 실제로 그 경로 중 하나가 실현될 기회도 제로로 줄어든다.

2.4 재조정의 가치

변동성 저항에 직면했을 때, 기대값이 긍정적일지라도 일부 자금을 비축해야 한다. 이렇게 하면 문제가 발생했을 때 손실이 줄어들고, 장기적으로는 복합 부를 증가시킬 수 있다.

거래 측면에서, 이 모든 것은 꽤 익숙한 개념을 생성한다. 가격이 상승할 때, 때때로 일부 포지션을 청산하여 이익을 잠그고 가격이 다시 하락할 경우를 대비한다. 가격이 하락할 때, 때때로 유리한 가격으로 예상되는 미래 수익을 얻기 위해 바닥을 다지는 것이 의미가 있다.

특정 경우, 이번처럼, 최상의 전략은 포트폴리오를 지속적으로 재조정하여 각 포지션에 대해 항상 고정 비율의 자산을 투자하는 것이다. 예를 들어, 절반은 스테이블 코인, 나머지 절반은 위험 자산이다. 이는 항상 최상의 균형은 아니며, 일반적으로 포트폴리오의 위험 자산이 많을수록 그 수익률이 변동성에 비해 높아지기를 원하지만, 우리는 더 깊은 탐구를 미래의 작업으로 미루기로 한다.

장기 부의 증가를 위한 재조정의 이점은 막대할 수 있으며, 이는 기하급수적인 부의 증가와 파산 간의 차이를 의미할 수 있다. 우리가 설정한 배경에서도, 각 재조정 거래의 가격이 매우 불리하고 순간적인 손실을 초래하더라도, 이는 사실이다.

2.5 자원

아마도 당신은 이러한 설명에 만족하지 않으며, 더 알고 싶어할 것이다.

당신은 먼저 켈리 공식을 검토할 수 있다. 이는 이러한 원칙에 기반한 이론적으로 최적의 베팅 전략이다. @wpoundstone의 《부의 공식》은 켈리 공식의 역사와 의미에 대한 잘 알려져 있고 읽기 쉬운 책이다.

한편, 부의 증가 수학에 대한 심층 연구로는 @olebpeters의 탐색적 경제학 강의 노트 또는 그가 《네이처》 저널에 발표한 논문을 강력히 추천한다.

만약 당신이 스스로 연구하기로 선택한다면, 조심해야 한다. 이는 잘 알려지지 않은 분야로, 나의 연구 과정에서 많은 자료 출처가 오류를 포함하고 있어 내 이해를 몇 시간 또는 며칠 동안 되돌리게 했다.

특히, 누군가 평균 회귀 또는 로그 효용 함수에 대해 언급한다면, 나는 당신이 멈추지 말고 계속 나아가기를 권장한다. 이 분야의 주요 결과는 특정 수익 분포나 효용 함수를 가정할 필요가 없다.

2.6 수수료 연금술

이 설정에서 LP가 되는 것이 유익한 시점은 언제이며, LP는 최소한의 비용으로 재조정을 촉진하기 위해 가능한 한 자주 재조정해야 하는가?

(수수료는 가능한 한 낮아야 하며, 제로가 되어서는 안 된다. 이는 점점 미세한 가격 변동을 통해 재조정을 촉발하기 위함이다. Dan Robinson은 이를 "양자 거품에서 동전을 줍는 것"이라고 부른다.)

그러나 수수료가 완전히 제로일 때, 재조정의 모든 이점은 사라지며, 대부분의 경우 LP의 상황은 그들이 단순히 비균형 포트폴리오를 보유하는 것보다 더 나빠진다.

이러한 겉보기에 반직관적인 현상을 이해하는 것은 문제의 나머지 부분을 밝히는 데 도움이 된다.

Uniswap은 "상수 곱" 불변량을 사용하므로, 수수료를 부과하지 않을 경우 각 거래는 준비금 잔액의 곱을 일정하게 유지해야 한다. 우리는 이를 로 표현할 수 있으며, Uniswap에 익숙한 독자는 이를 x*y = k로 쓰는 것이 더 익숙할 수 있다.

그러나 사실, 재조정을 달성하기 위해 이 곱 C의 수치는 증가해야 하며, 이는 우리에게 초과 부의 증가를 제공해야 한다.

왜 C가 그렇게 중요한가? 우리는 가 우리의 준비금 잔액 Ra와 Rb의 기하 평균이라고 말한다. 산술 평균과 마찬가지로, 기하 평균은 준비량이 증가함에 따라 증가한다. 그러나 산술 평균과는 달리, 기하 평균은 준비량의 불균형이 발생함에 따라 줄어든다.

수수료를 부과하지 않을 경우, C는 일정하게 유지되므로 거래는 항상 더 큰 준비금 또는 더 균형 잡힌 준비금을 초래한다. 이 두 가지는 동시에 존재할 수 없으므로, 부의 증가에는 동력이 없다.

그러나 현실 세계의 Uniswap 또는 우리가 설정한 환경에서는 비제로 수수료가 매 거래마다 C가 증가하도록 보장한다. 시간이 지남에 따라, 이는 준비금이 증가할 뿐만 아니라 균형을 유지하게 하여, 위에서 논의된 이점을 제공한다.

이것이 어떻게 계산되는지에 대한 정확한 수학을 이해하려면, Martin과 나의 증명 논문의 3.1 부분을 참조하라.

3. 수학

이제 우리는 Charlie의 초기 문제 진술에서 제기된 질문에 정확하게 대답할 수 있다.

다시 말해, 그들이 관심을 두고 있는 것은 Uniswap 스타일 AMM의 부의 증가율 G이며, 여기서 비율 수수료 는 스테이블 코인과 변동 자산(기하 브라운 운동 변동성을 가지며, 매개변수 드리프트와 변동성) 간의 시장에 영향을 미친다.

3.1 LP 부의 증가율

3.2 최적 수수료와 초과 수익

다음 조건이 충족될 때만, LP가 절반의 스테이블 코인과 절반의 위험 자산을 보유하는 수익이 단순히 보유하는 것보다 더 높아진다:

이 경우, LP는 가능한 한 낮지만 제로가 아닌 수수료를 설정해야 하며, 그들은 부의 증가율이 점차 에 가까워질 것이다.

3.3 설명

기하 브라운 운동이 복합 성장을 시뮬레이션하므로, 이들은 변동성 저항의 영향을 받으며, 이는 수학적으로 로 표현된다. 부의 증가율은 다음과 같다:

이는 범위 내에서 Uniswap의 LP가 되는 것이 HODL 성장률보다 더 의미가 있음을 의미한다.

이는 우리가 관찰 결과를 바라보는 관점을 제공한다: 재조정은 우리가 기초 자산의 변동성 저항을 부분적으로 상쇄할 수 있게 해준다. 변동성 저항이 없다면, 평균 수익도 제로 또는 부정적이므로, 재조정의 양은 아무런 도움이 되지 않을 것이다. 비록 재조정된 포트폴리오가 단순히 자산을 보유하는 것보다 더 나은 성과를 낼 수 있지만, 우리는 여전히 스테이블 코인만 보유하는 것이 최선일 것이다.

반면에, 변동성 저항의 평균 수익이 긍정적이라면:

1. 변동성 저항이 자산 손실을 평균 로그 수익률의 200% 이상 초과하게 만든다면, Uniswap에서 재조정하는 것은 충분한 저항을 제거하지 못할 것이므로, 스테이블 코인을 보유하는 것이 최선일 것이다.

2. 변동성 저항이 자산 손실을 평균 로그 수익률의 66% 이하로 만든다면, Uniswap에서 재조정하는 것은 가치가 없으므로, 단순히 자산을 보유하는 것이 최선일 것이다.

3. 이 범위 내에서 Uniswap LP가 되는 것은 결국 당신을 부유하게 만들 것이며, 사실, 당신이 보유한 어떤 스테이블 코인과 변동 자산으로 구성된 비균형 포트폴리오보다 더 부유하게 만들 것이다. 이는 결국 무가치해질 자산과 포물선 성장을 보일 자산을 모두 포함한다.

3.4 증명

완전한 증명에 대한 사전 인쇄 논문은 여기에서 찾을 수 있다. 이는 이산 랜덤 워크에 대한 동역학 모델을 구축한 후, 보폭을 제로로 줄일 때 행동 제한을 취하는 방식으로 작동한다.

또한, 제로 로그 드리프트 상황에 대한 원래 증명을 확인할 수 있으며, 여기에서 몇 가지 문제 시뮬레이션을 수행할 수 있다.

3.5 우리는 이러한 연구 결과에 얼마나 신뢰를 가져야 하는가?

개인적으로 나는 이것이 매우 신뢰할 수 있다고 생각한다.

우리는 두 가지 독립적인 증명 방법을 가지고 있으며, 이들이 겹치는 영역에서 동일한 결과를 낸다. 우리는 우리의 예측을 검증할 수 있는 몇 가지 시뮬레이션도 가지고 있다:

시뮬레이션과 예측의 부의 증가율 (출처). 그럼에도 불구하고, 이는 여전히 매우 혼란스러운 분야이며, 지난 몇 주 동안 나는 이에 대한 이해가 여러 번 변화했다. 만약 당신이 실제로 오류를 발견한다면, 언제든지 우리에게 연락해 주시기 바란다.

4. 미래의 작업

우리는 당신이 이러한 연구 결과가 이론적으로 흥미롭다고 동의하기를 바라지만(혹은 미친 듯이), 여전히 이들이 현실 세계와의 관련성을 확인하기 위해 해야 할 일이 많다.

예를 들어, 우리의 많은 가정은 수정하거나 확장할 수 있다:

1. 이러한 결과를 다중 자산 사례로 전환하는 방법은 무엇인가? 또는 LP가 Balancer와 같은 50/50 이외의 비율로 재조정할 수 있는 시점은 언제인가?

2. 우리가 더 이상 단위 시간당 무한 거래를 허용하지 않을 때 무슨 일이 발생하는가?

3. 거래 비용을 도입할 때, 이는 우선 가스 경매 동태를 반영하기 위해 변동할 수 있다면 어떻게 될까? 또한 몇 가지 실증적 질문이 있다:

4. 오늘날 시장에서 증권 거래에 대해 이러한 매개변수를 추정할 수 있는가?

5. 얼마나 많은 적극적인 거래의 토큰이 우리가 설명한 재조정 전략으로부터 혜택을 받을 수 있는가?

6. 우리는 변동성 수익으로 인해 현실에서 Uniswap LP 수익을 실현할 비율을 결정할 수 있는가? 마지막으로, 아마도 가장 흥미로운 것은. 우리는 어떻게 이곳에서 배운 지식을 기존 프로토콜을 개선하는 데 사용할 수 있을까? 새로운 프로토콜을 만드는 것인가, 아니면 전체적으로 DeFi 생태계를 발전시키는 것인가?
   5. 함께 논의해 보자

질문이 있습니까? 아이디어? 잠재적 응용?

우리는 당신의 목소리를 듣고 싶다.

@charlienoyes ● @danrobinson ● @Dave_White ● @MartinTassy

Vitalik Buterin, Matt Huang, Georgios Konstantopoulos 및 Alex Evans에게 이 글에 대한 의견을 주셔서 감사드립니다.