パス独立について

著者：Vitalik Buterin

原題：《On Path Independence》

発表日：2017年7月22日

誰かがあなたの目の前に現れ、彼は無限の自由エネルギーの源を作り出す方法を思いついたと大声で叫び始めたと仮定しましょう。彼の提案は次のようになります。まず、あなたは宇宙船を近地軌道に送ります。そこで、地球の重力はかなり高いため、宇宙船は地球に向かって急激に加速し始めます。この宇宙船は、ほとんど地球の大気圏をかすめるような軌道に自らを置き、その後、遠い宇宙へと飛び続けます。宇宙では重力が低いため、宇宙船は再び降下を始める前により高く飛ぶことができます。降下する際には、地球に向かって曲がった軌道を描き、低軌道での時間を最大化し、そこから得られる高重力による加速度を最大化します。そうすることで、地球を通過した後、より高く飛ぶことができます。十分に高く上昇した後、宇宙船は地球の大気圏を通過し、減速しますが、廃熱を利用して熱反応炉にエネルギーを供給します。その後、最初のステップに戻り、前進を続けます。

こんな感じです：

さて、もしあなたがニュートン力学について少しでも知っていれば、この提案が完全にナンセンスであることにすぐに気づくでしょう。しかし、どうやってそれを証明しますか？対称性に訴えて、「見てください、あなたが言う重力が高加速度の軌道に与える影響の各部分には、重力が同じ高い減速度を与える対応する部分がありますから、私は純利益がどこから来るのか見ません」と言うことができます。しかし、仮にその男があなたを追い詰めてきたとします。「ああ、」彼は言います。「しかし、その高加速度の部分では、あなたの初速度は非常に低いので、そこで多くの時間を過ごしますが、対応する部分では、あなたの入ってくる速度が非常に高いので、減速する時間は少なくなります。」あなたは本当に、最終的に、彼が間違っていることをどうやって証明しますか？

一つの方法は、数学を深く掘り下げて積分を計算し、仮定された純利益が実際には完全にゼロであることを証明することです。しかし、もっと簡単な方法もあります：エネルギーが経路に依存しないことを認識することです。つまり、宇宙船が点から移動する際、地球に近づくほど、その運動エネルギーは確実に増加します。なぜなら、速度が増加するからです。しかし、総エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの合計）は保存されているため、位置エネルギーは宇宙船の位置にのみ依存し、どのようにそこに到達したかには依存しないため、どの点から出発する経路であっても、運動エネルギーの総変化は完全に同じであることがわかります。

異なる経路、同じエネルギー変化

さらに、出発点からの運動エネルギーの増加は、経路に依存しないこともわかっています：すべての場合において、それは完全にゼロです。時折、オンチェーンのマーケットメーカー（つまり、あるトークンを別のトークンと交換したい人々に常に利用可能な取引相手を提供する完全自動化されたオンチェーンメカニズム）に対して提起される懸念の一つは、常に利用されやすいということです。

例えば、最近の投稿を引用しましょう。これはBancorの文脈でこの問題を議論しています：

Bancorがトークンに提供する価格は、実際の市場均衡とは無関係です。Bancorは常に市場に遅れを取り、その結果、貯蔵が枯渇します。単純な思考実験で問題を説明できます。市場がXを巡ってパニックになっていると仮定しましょう。あなたのシステムに関する根拠のない噂がソーシャルメディアを超えて広がります。人々は、あなたのCEOが引き渡し条約のない遠隔の島に逃げたと確信し、あなたのCFOが資金を横領しており、あなたのCTOがダークウェブ市場から薬物を購入し、それを彼の職場に運び込んでいると信じています。彼の机の上には白い粉の山があるかのように。さらに悪いことに、あなたはこれらの告発が間違っていることを知っています。それらは、製品を持たない会社によって操作されたトロール軍によって広められたものです。その会社のビジネスプランは、すべての人のコインの流れを阻止することです。Bancorは、銀行の取り付け騒ぎの間、Xトークンに対して常に低下する価格を提供し続け、残りの貯蔵がなくなるまで続きます。あなたは市場のパニックが優勢になり、あなたの貯蔵を食いつぶすのをただ見ていることになります。思い出してください、人々はこの状況でXの真の価値が0であると確信しており、Bancorの公式はその値を上回る価格を提供することを保証しています。したがって、あなたの全貯蔵が消えてしまいます。

この記事はBancorプロトコルに関する多くの問題を議論しており、コードの品質などの詳細には触れません。むしろ、私は純粋にオンチェーンマーケットメーカーの効率と利用可能性のテーマに焦点を当て、Bancor（およびMKR）を例として使用し、全体のプロジェクトの品質についての判断は行いません。

多くの設計が単純なオンチェーンマーケットメーカーに対して、上記の利用可能性と市場追跡に関するコメントはそのまま適用され、非常に真剣です。しかし、全く疑う余地のないオンチェーンマーケットメーカーも存在します。彼らの全貯蔵が何らかのポンプ攻撃によって枯渇することはありません。単純な例を挙げてみましょう。マーケットメーカーがETHを売却してMKRを提供し、その内部状態が現在の価格で構成され、各価格レベルで無限のMKRを購入または販売することを望んでいると仮定します。例えば、あなたが2 MKRを購入したいとします。市場はあなたに次のように売ります：

0.00…01 MKR、価格は5 ETH/MKR
0.00…01 MKR、価格は5.00…01 ETH/MKR
0.00…01 MKR、価格は5.00…02 ETH/MKR
….
0.00…01 MKR、価格は6.99…98 ETH/MKR
0.00…01 MKR、価格は6.99…99 ETH/MKR

要するに、マーケットメーカーは平均価格6 ETH/MKR（つまり総コスト12 ETH）であなたに2 MKRを売却し、操作が終了する時点で7に増加します。もし誰かが1 MKRを売却したい場合、彼らは6.5 ETHを費やし、その操作が終了する時点で6に戻ります。

さて、もし私があなたに、こうしたマーケットメーカーの初期価格が、いくつかの未指定の出来事の後に現在は4であると伝えたとしましょう。二つの質問があります：

1. マーケットメーカーはどれだけのMKRを得たか、または失ったか？
2. マーケットメーカーはどれだけのETHを得たか、または失ったか？

答えは：それは1 MKRを得て、4.5 ETHを失ったということです。この結果は、経路に完全に依存しないことに注意してください。もしこれらの答えが正しいなら、最初の買い手が5から4に移動する場合、彼らは5から4.7に移動し、第二の買い手が残りの道を4に移動する場合でも、彼らは正しいのです。彼らが最初に2に下がり、その後9.818に上がり、再び0.53に下がり、最後に再び4に上がる場合でも、彼らは正しいのです。

なぜそうなるのでしょうか？これを理解する最も簡単な方法は、4未満に下がってから4に戻る場合、下落過程での売却がちょうど上昇過程での購入によって相殺されることを考えることです；各売却には、同じ数量の購入が対応し、価格は完全に同じです。しかし、私たちはマーケットメーカーのコアメカニズムを異なる視点から見ることでもこれを理解できます。マーケットメーカーを一次元の内部状態を持つものとして定義し、次の式で定義されるMKRとETHの残高を持つとします：

誰でも「編集」する権利があります（ただし、0から10の間の値に限ります）が、彼らは適切な量のMKRまたはETHを提供し、残高が一致するように適切な量のMKRとETHを取り戻すことによってのみそれを行うことができます。つまり、マーケットメーカーが操作後に保持するMKRとETHの数量は、上記の式に従って保持すべき数量であり、新しい値はそれに設定されます。残高を自動的に一致させない編集は、MKRとETHの取引が失敗します。

したがって、5から4への任意の一連の出来事の下降も、マーケットメーカーのMKR残高を1増加させ、ETH残高を4.5減少させます。どのような一連の出来事であっても、これは非常に簡単に見えるはずです：

これは、経路独立の特性を保持するマーケットメーカーに対する「貯蔵出血」攻撃が不可能であることを意味します。たとえ一部のトロールが市場のパニックを引き起こし、価格をほぼゼロのレベルにまで引き下げたとしても、パニックが収束し、価格が元のレベルに戻ったとき、マーケットメーカーのポジションは変わらないでしょう。つまり、価格とマーケットメーカーの残高が、その間に一連の狂った動きをしたとしてもです。

現在、他の保有戦略と比較して、マーケットメーカーが損失を被ることがないわけではありません。もし、あなたが最初に1 MKR = 5 ETHで始まり、その後MKRの価格が変動した場合、マーケットメーカーが5 MKRと12.5 ETHを保持するパフォーマンスを単に資産を保持するパフォーマンスと比較すると、結果は次のようになります：

バランスの取れたポートフォリオは、価格が完全に同じでない限り常に勝利します。この場合、マーケットメーカーとバランスの取れたポートフォリオのリターンは等しくなります。したがって、この種のマーケットメーカーの目的は、保証された流動性を補助し、ユーザーの公共財として機能し、最後の取引者として行動することであり、収入を得ることではありません。しかし、私たちはもちろん、マーケットメーカーを収入を得るように変更することができ、非常に簡単です：私たちはそれにスプレッドを課すことにします。つまり、マーケットメーカーは購入と販売のためにのみ手数料を徴収することができます。今や、マーケットメーカーになることの利益は賭けのようなものです：長期的に価格が一方向に動く傾向がある場合、マーケットメーカーは損失を被り、少なくとも彼らが持っているバランスの取れたポートフォリオが得られる可能性のある利益に対して損失を被ることになります。一方、価格が激しく反発する傾向があるが最終的に同じ点に戻る場合、マーケットメーカーはかなりの利益を得ることができます。これは「経路独立性」の特性を犠牲にしますが、経路独立性からのいかなる逸脱も常にマーケットメーカーに有利です。

経路独立のマーケットメーカーは多くの設計を採用できます。無限の数量のトークンを発行できるようにしたい場合、「一定準備金率」メカニズム（ここで、ある一定の比率に対して、トークン供給量があり、準備金の大きさも考慮される、正しく実装され、経路独立性が境界や丸め誤差の影響を受けない限り）が考えられます。

既存のトークンに対して価格上限のないマーケットメーカーを作成したい場合、私が最も好きな（マーチン・コッペルマンに感謝）メカニズムは、いくつかの定数に対して不変のメカニズムを維持することです。したがって、式は次のようになります：

ここで、は価格です。一般的に、任意の（単調）関係を定義することで、経路独立のマーケットメーカーを作成し、その導関数を計算して価格を示すことができます。

上記は、経路独立性が特定のタイプの問題を防ぐ役割についてのみ議論しています：攻撃者が何らかの方法で一連の価格変動の文脈で一連の取引を行い、マーケットメーカーの資金を繰り返し搾取することです。経路独立のマーケットメーカーにとって、この「資金ポンプ」の脆弱性は不可能です。しかし、もちろん他の種類の非効率性も存在する可能性があります。もしMKRの価格が5 ETHから1 ETHに下がった場合、上記の例で使用されたマーケットメーカーは28 ETHの価値を失い、バランスの取れたポートフォリオは20 ETHしか失いません。その8 ETHはどこに行ったのでしょうか？

最良のシナリオでは、価格（すなわち「真の」価格、すべてのユーザーとトレーダーの間で供給と需要が一致する価格レベル）が急速に下落し、一部の幸運なトレーダーが取引を急いで行い、8 ETHの利益を得て微々たる取引手数料を差し引くことになります。しかし、複数のトレーダーがいる場合はどうでしょうか？その場合、ブロック間の価格が異なり、トレーダーが取引手数料を設定して互いに入札することができるという事実が、全額支払いオークションを生み出し、収入はマイナーに帰属します。収入等価定理により、私たちは、トレーダーがそのメカニズムに送信する取引手数料は、利益の大きさにほぼ等しくなるまで上昇し続けると予想されることを推測できます（少なくとも最初は；真の均衡はマイナーが自分でお金を稼ぐことです）。したがって、どちらの方法でも、このようなスキームは最終的にマイナーへの贈り物となります。

この設計で社会的福利を増加させる方法の一つは、購入取引を作成することを可能にすることです。これらの取引は、マイナーが実際に購入を行った場合にのみ含める価値があります。つまり、もしMKRの「真の」価格が5から4.9に下がり、50人のトレーダーがマーケットメーカーでアービトラージを競っている場合、その50人のトレーダーの中で最初の一人だけが取引を行う場合、唯一その人がマイナーに取引手数料を支払うべきです。こうすることで、他の49回の失敗した取引はブロックチェーンをブロックしません。Metropolis用に計画されたEIP 86は、この条件付き取引手数料メカニズムの標準化への道を開きました（もう一つの良い副作用は、これによりトークンセールがより目立たなくなる可能性があることです。なぜなら、類似の全額支払いオークションメカニズムが多くのトークンセールに適用されるからです）。

さらに、もしマーケットメーカーがトークンの唯一の取引所である場合、他の非効率性も存在します。例えば、もし二人のトレーダーが大量の取引を行いたい場合、彼らは一連の小規模な売買取引を通じて行う必要があり、ブロックチェーンを不必要にブロックします。このような効率を低下させるために、オンチェーンマーケットメーカーは唯一の取引所の一つであるべきであり、唯一の取引所ではありません。しかし、プロトコル開発者にとっては、これは大きな問題ではないと言えるでしょう。最終的に大規模な取引を促進する場所が必要な場合、他の人がそれを提供するかもしれません。

さらに、ここでの議論はマーケットメーカーの経路独立性についてのみであり、特定の開始価格と終了価格が与えられていると仮定しています。しかし、さまざまな心理的効果や多重均衡効果により、終了価格は資産の「基本的」価値に影響を与える開始価格や最近の出来事の関数であるだけでなく、これらの出来事に応じて発生する取引パターンの関数でもあるようです。もし価格が下落する出来事が発生し、流動性が低いために資産価格が急速に下落した場合、最終的には最初に存在したよりも流動性が高い点よりも低い点に戻る可能性があります。つまり、これは実際には補助的なマーケットメーカーを支持する理由になるかもしれません：もしこのような乗数効果が存在するなら、彼らは価格の安定に対して積極的な影響を与えることができ、マーケットメーカー自身が提供する流動性の一次効果を超えて影響を与えることができます。

どの経路独立のマーケットメーカーが最適であるかを特定するには、多くの研究が必要かもしれません。また、半自動マーケットメーカーが同じ保証された流動性の特性を持ちつつ、いくつかの非同期要素を含む可能性もあります。そして、オペレーターが「割り込み」を行い、そうでなければマイナーが大量の資金を失う場合に利益を得る能力を持つこともあります。さまざまな目標に対して、オンチェーンの自動化された流動性保証がどれほど（もしあれば）最適であるか、そしてこれらのマーケットメーカーがどの程度補助されるべきか、誰によって補助されるべきかについては、まだ一貫した理論がありません。要するに、オンチェーンメカニズムの設計空間はまだ初期段階にあり、さまざまな選択肢を広く研究し探求する価値があります。